Som sagt, kolla i första hand att alla elanslutningar är i bra skick - inget sönderkorroderat, inga dåligt kontaktpressade kabelskor där kabeln sitter lös osv. Inte bara på plussidan utan även jordledningen från batteri till motorblock.
Mät batterispänningen dels när batteriet är obelastat - då bör den vara minst 12,6 V om batteriet är nyligen laddat - och dels när du försöker köra startmotorn. Mät också spänningen på ledningen från startrelä till startmotor.
Om det skulle vara dålig kontakt eller stort spänningsfall i tändningslåset/startknappen, så kan man råka ut för att det klickar i startrelät men det orkar inte slå till hela vägen. Kolla detta genom att mäta spänning mellan + på batteriet och startreläts anslutning för manöverström, max 1 V spänningsfall kan tolereras däremellan.
Vad är det för märke och storlek på motorn till åkgräsklipparen?